1.AB=CD
∠AOB=∠COD,又∠ODB=∠CBD
所以∠BDF=∠EDB,BE=DF
所以EF‖BD
EF垂直平分线也垂直平分BD
BD为圆O弦
所以EF垂直平分线必过圆心O
2.连接BD,作OV垂直DB,延长与EF交于点Q,作AB,CD的圆心距OI,OL
∵OV⊥DB
∴OV平分DB（即OV是DB的中垂线）
∵AB=CD
∴OI=OL
∵OD=OB=r,∠OIB=∠OLD
∴△OIB≌△OLD
∠PDO=∠PBO
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODB+∠PDO=∠OBD+∠PBO（即∠PDB=∠PBD)
∴DP=BP（△PDB是等腰三角形)
∵DF=BE
∴DP+DF=BP+BE（即PF=EF,△PFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△PDB中∠DPB的平分线即是DB的中垂线OV,同理得在等腰三角形PEF中∠DPB也是EF的中垂线OQ,所以OV与OQ在同一直线上,EF的垂直平分线必过圆心O