设椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若
·
+
·
=8,求k的值.
(1)
+
=1 (2) k=±
解:(1)设F(-c,0),由
=
,知a=
c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,
代入椭圆方程有
+
=1,
解得y=±
,
于是
=
,解得b=
,
又a 2-c 2=b 2,从而a=
,c=1,
所以椭圆的方程为
+
=1.
(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组
消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0,
则x 1+x 2=-
,x 1x 2=
.
因为A(-
,0),B(
,0),
所以
·
+
·
=(x 1+
,y 1)·(
-x 2,-y 2)+(x 2+
,y 2)·(
-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)
=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+
.
由已知得6+
=8,解得k=±
.