Question

将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在AD上,MN为折痕,折叠后B'C’与DN交于P,则四边形MNC'B '

Answer 1

过N作NR⊥AB与R,

则RN=BC=1,

连BB′,交MN于Q．则由折叠知,

△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称,即△MBQ≌△MB′Q,

有BQ=B′Q,MB=MB′,MQ⊥BB′．

∵∠A=∠MQB,∠ABQ=∠ABB′,

∴△MQB∽△B′AB,

∴AB'/MQ=AB/BQ=BB'/MB．

设AB′=x,则BB′=根号1+x²,BQ=1/2根号1+x²,代入上式得：

BM=B'M=1/2（1+x²）．

∵∠MNR+∠BMQ=90°,∠ABB′+∠BMQ=90°,

∴∠MNR=∠ABB′,

在△MRN和△B′AB中,

∵∠MNR=∠ABB′,RN=AB,∠A=∠NRM=90°

∴△MRN≌△B′AB（ASA）,

∴MR=AB′=x．

故C'N=CN=BR=MB-MR=1/2(1+x²)-x=1/2（x-1）²

‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍∴S梯形MNC′B′=1/2【1/2（x-1）²+1/2（x²+1）】×1=

当x=1/2时,梯形面积最小,其最小值3/8

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