Question

已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B₁D₁⊥AE；

（2）作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC₁、BB₁的中点，易得AF∥ED，CF∥B₁E，从而平面ACF∥面B₁DE．证得AC∥平面B₁DE；

（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A-BDE的体积．

（1）证明：连接BD，则BD∥B₁D₁，（1分）

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．

又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）

∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，

∴B₁D₁⊥AE．（5分）

（2）证明：作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．

∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE

∥

.B₁F，

∴四边形B₁FCE是平行四边形，

∴CF∥B₁E．（7分）

∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF

∥

.

.BC，

又BC

∥

.

.AD，∴EF

∥

.

.AD．

∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，

∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，

∴平面ACF∥面B₁DE．（9分）

又AC⊂平面ACF，∴AC∥面B₁DE．（10分）

（3）（文）S△ABD=

1

2AB•AD=2． （11分）

VA-BDE=VE-ABD=

1

3S△ABD•CE=

1

3S△ABD•CE=

2

3．（14分）

（理）∵AC∥面B₁DE

∴A 到面B₁DE 的距离=C到面B₁DE 的距离（11分）

∴VA-B1DE=VC-B1DE=VD-B1EC=

1

3•(

1

2•1•2)•2=

2

3 （14分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线．