解题思路:(1)已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的长,即可得出C点的坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)本题的关键是得出D点的坐标,CD平分∠BCE,如果连接O′D,那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为(4,-5).根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式;(3)本题要分两种情况进行讨论:①过D作DP∥BC,交D点右侧的抛物线于P,此时∠PDB=∠CBD,可先用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据BC与DP平行,那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同,因此可根据D的坐标求出DP的解析式,然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标,然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点.②同①的思路类似,先作与∠CBD相等的角:在O′B上取一点N,使BN=BM.可通过证△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同①的方法一样,先求直线DN的解析式,进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标.综上所述可求出符合条件的P点的值.
(1)∵以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
又∵∠OCB+∠OBC=90°,
∴∠OCA=∠OBC,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴[OA/OC=
OC
OB].
又∵A(-1,0),B(9,0),
∴[1/OC=
OC
9],
解得OC=3(负值舍去).
∴C(0,-3),
故设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-9),
∴-3=a(0+1)(0-9),解得a=[1/3],
∴二次函数的解析式为y=[1/3](x+1)(x-9),
即y=[1/3]x2-[8/3]x-3.
(2)∵AB为O′的直径,且A(-1,0),B(9,0),
∴OO′=4,O′(4,0),
∵点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,
∴∠BCD=[1/2]∠BCE=[1/2]×90°=45°,
连接O′D交BC于点M,
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=[1/2]AB=5.
∴O′D⊥x轴
∴D(4,-5).
∴设直线BD的解析式为y=kx+b,
∴
9k+b=0
4k+b=−5,
解得
k=1
b=−9
∴直线BD的解析式为y=x-9.
∵C(0,-3),
设直线BC的解析式为:y=ax+b,
∴
b=−3
9a+b=0,
解得:
b=−3
a=
1
3,
∴直线BC的解析式为:y=[1/3]x-3.
(3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD,
解法一:设射线DP交⊙O′于点Q,则
BQ=
CD.
分两种情况(如图所示):
①∵O′(4,0),D(4,-5),B(9,0),C(0,-3).
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,
因此,点Q1(7,-4)符合
BQ=
CD,
∵D(4,-5),Q1(7,-4),
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=[1/3]x-[19/3].
解方程组
y=
1
3x−
19
3
y=
1
3x2−
8
3x−3
得
x1=
9−
41
2
y1=
−29−
41
6或
x2=
9+
41
2
y2=
−29+
41
6
∴点P1坐标为(
9+
41
2,
−29+
41
6),坐标为(
9−
41
2,
−29−
41
6)不符合题意,舍去.
②∵Q1(7,-4),
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合
BQ=
CD.
∵D(4,-5),Q2(7,4).
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17.
解方程组
y=3x−17
y=
1
3x2−
8
3x−3
得
x1=3
y1=−8,
即
x2=14
y2=25
∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,-8)不符合题意,舍去.
∴符合条件的点P有两个:P1(
9+
41
2,
−29+
41
6),P2(14,25).
解法二:分两种情况(如图所示):
①当DP1∥CB时,能使∠PDB=∠CBD.
∵B(9,0),C(0,-3).
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=[1/3]x-3.
又∵DP1∥CB,
∴设直线DP1的解析式为y=[1/3]x+n.
把D(4,-5)代入可求n=-[19/3],
∴直线DP1解析式为y=[1/3]x-[19/3].
解方程组
y=
1
3x−
19
3
y=
1
3x2−
8
3x−3
得
x1=
9−
41
2
y1=
−29−
41
6或
x2=
9+
41
2
y2=
−29+
41
6
∴点P1坐标为(
9+
41
2,
−29+
41
6)或(
9−
41
2,
−29−
41
2)(不符合题意舍去).
②在线段O′B上取一点N,使BN=DM时,得△NBD≌△MDB(SAS),
∴∠NDB=∠CBD.
由①知,直线BC解析式为y=[1/3]x-3.
取x=4,得y=-[5/3],
∴M(4,-[5/3]),
∴O′N=O′M=[5/3],
∴N( [17/3],0),
又∵D(4,-5),
∴直线DN解析式为y=3x-17.
解方程组
y=3x−17
y=
1
3x2−
8
3x−3
得
x1=3
y1=−8,
x2=14
y2=25
∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,-8)不符合题意,舍去.
∴符合条件的点P有两个:P1(
9+
41
2,
−29+
41
6),P2(14,25).
解法三:分两种情况(如图所示):
①求点P1坐标同解法二.
②过C点作BD的平行线,交圆O′于G,
此时,∠GDB=∠GCB=∠CBD.
由(2)题知直线BD的解析式为y=x-9,
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.