如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,

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  • 解题思路:(1)已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的长,即可得出C点的坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)本题的关键是得出D点的坐标,CD平分∠BCE,如果连接O′D,那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为(4,-5).根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式;(3)本题要分两种情况进行讨论:①过D作DP∥BC,交D点右侧的抛物线于P,此时∠PDB=∠CBD,可先用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据BC与DP平行,那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同,因此可根据D的坐标求出DP的解析式,然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标,然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点.②同①的思路类似,先作与∠CBD相等的角:在O′B上取一点N,使BN=BM.可通过证△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同①的方法一样,先求直线DN的解析式,进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标.综上所述可求出符合条件的P点的值.

    (1)∵以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,

    ∴∠OCA+∠OCB=90°,

    又∵∠OCB+∠OBC=90°,

    ∴∠OCA=∠OBC,

    又∵∠AOC=∠COB=90°,

    ∴△AOC∽△COB,

    ∴[OA/OC=

    OC

    OB].

    又∵A(-1,0),B(9,0),

    ∴[1/OC=

    OC

    9],

    解得OC=3(负值舍去).

    ∴C(0,-3),

    故设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-9),

    ∴-3=a(0+1)(0-9),解得a=[1/3],

    ∴二次函数的解析式为y=[1/3](x+1)(x-9),

    即y=[1/3]x2-[8/3]x-3.

    (2)∵AB为O′的直径,且A(-1,0),B(9,0),

    ∴OO′=4,O′(4,0),

    ∵点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,

    ∴∠BCD=[1/2]∠BCE=[1/2]×90°=45°,

    连接O′D交BC于点M,

    则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=[1/2]AB=5.

    ∴O′D⊥x轴

    ∴D(4,-5).

    ∴设直线BD的解析式为y=kx+b,

    9k+b=0

    4k+b=−5,

    解得

    k=1

    b=−9

    ∴直线BD的解析式为y=x-9.

    ∵C(0,-3),

    设直线BC的解析式为:y=ax+b,

    b=−3

    9a+b=0,

    解得:

    b=−3

    a=

    1

    3,

    ∴直线BC的解析式为:y=[1/3]x-3.

    (3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD,

    解法一:设射线DP交⊙O′于点Q,则

    BQ=

    CD.

    分两种情况(如图所示):

    ①∵O′(4,0),D(4,-5),B(9,0),C(0,-3).

    ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,

    因此,点Q1(7,-4)符合

    BQ=

    CD,

    ∵D(4,-5),Q1(7,-4),

    ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=[1/3]x-[19/3].

    解方程组

    y=

    1

    3x−

    19

    3

    y=

    1

    3x2−

    8

    3x−3

    x1=

    9−

    41

    2

    y1=

    −29−

    41

    6或

    x2=

    9+

    41

    2

    y2=

    −29+

    41

    6

    ∴点P1坐标为(

    9+

    41

    2,

    −29+

    41

    6),坐标为(

    9−

    41

    2,

    −29−

    41

    6)不符合题意,舍去.

    ②∵Q1(7,-4),

    ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合

    BQ=

    CD.

    ∵D(4,-5),Q2(7,4).

    ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17.

    解方程组

    y=3x−17

    y=

    1

    3x2−

    8

    3x−3

    x1=3

    y1=−8,

    x2=14

    y2=25

    ∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,-8)不符合题意,舍去.

    ∴符合条件的点P有两个:P1

    9+

    41

    2,

    −29+

    41

    6),P2(14,25).

    解法二:分两种情况(如图所示):

    ①当DP1∥CB时,能使∠PDB=∠CBD.

    ∵B(9,0),C(0,-3).

    ∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=[1/3]x-3.

    又∵DP1∥CB,

    ∴设直线DP1的解析式为y=[1/3]x+n.

    把D(4,-5)代入可求n=-[19/3],

    ∴直线DP1解析式为y=[1/3]x-[19/3].

    解方程组

    y=

    1

    3x−

    19

    3

    y=

    1

    3x2−

    8

    3x−3

    x1=

    9−

    41

    2

    y1=

    −29−

    41

    6或

    x2=

    9+

    41

    2

    y2=

    −29+

    41

    6

    ∴点P1坐标为(

    9+

    41

    2,

    −29+

    41

    6)或(

    9−

    41

    2,

    −29−

    41

    2)(不符合题意舍去).

    ②在线段O′B上取一点N,使BN=DM时,得△NBD≌△MDB(SAS),

    ∴∠NDB=∠CBD.

    由①知,直线BC解析式为y=[1/3]x-3.

    取x=4,得y=-[5/3],

    ∴M(4,-[5/3]),

    ∴O′N=O′M=[5/3],

    ∴N( [17/3],0),

    又∵D(4,-5),

    ∴直线DN解析式为y=3x-17.

    解方程组

    y=3x−17

    y=

    1

    3x2−

    8

    3x−3

    x1=3

    y1=−8,

    x2=14

    y2=25

    ∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,-8)不符合题意,舍去.

    ∴符合条件的点P有两个:P1

    9+

    41

    2,

    −29+

    41

    6),P2(14,25).

    解法三:分两种情况(如图所示):

    ①求点P1坐标同解法二.

    ②过C点作BD的平行线,交圆O′于G,

    此时,∠GDB=∠GCB=∠CBD.

    由(2)题知直线BD的解析式为y=x-9,

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.