2007年安徽省潜山中学高中数学竞赛试题
一、选择题（本题满分36分,每小题6分）
1. 1、函数的最大值是（ ）
A、2 B、 C、 D、3
2. 已知,定义,则（ ）
A． B． C． D．
3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1,且满足＋＋＝,则正三棱锥P－ABC的体积为 （ ）
A． B． C． D．
4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上任意一点,当取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为（ ）
A、 B、3 C、 D、2
5. 已知（R）,且 则a的值有 （ ）
（A）个 （B）个 （C）个 （D）无数个
6. 平面上有两个定点A、B,另有4个与A、B不重合的的动点.若使则称（）为一个好点对.那么这样的好点对 （ ）
A．不存在 B．至少有一个 C．至多有一个 D．恰有一个
二、填空题（本题满分54分,每小题9分）
7. 不等式的解集为,那么的值等于__________.
8. 定义在R上的函数,对任意实数,都有和,且,则的值为_________.
9. 等差数列有如下性质：若是等差数列,则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质,相应地,若是正项等比数列,则通项为_______________的数列也是等比数列．
10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
11. 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
12.已知点A(0,2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围
三、解答题（本题满分60分,共4小题,每题各15分）
13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量
(1) 求的取值范围;
（2）若试确定实数的取值范围.
14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1）,PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD（如图2）.（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M,使截面AMC
把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.
15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.
16. 在数列中,
（Ⅰ）试比较与的大小；
（Ⅱ）证明：当时,.
参考答案：
1.B
2. 计算
可知是最小正周期为6的函数.即得,所以＝,故选C.
3.B
4.B
5. D由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有
．
所以当,且时,恒有．
由于不等式的解集为,不等式
的解集为．因此当时,恒有
. 故选（D）．
6.B因为,所以.将区间[0,1]分成[],
三段,则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）.所以满足的好点对（）至少有一个.所以选B.
7.
8. ＝2005
9.
10. 36π
11. 390
12. 简设B点坐标为（y21–4,y1）,C点坐标为(y2–4,y)
显然y21–4≠0,故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC,所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x,注意到y≠y1 得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.
当y=0时,点B的坐标为(–3,–1)；当y=4时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意.故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.
13. 【标准答案】
因为
所以,由正弦定理,得,
即又所以即
.
(1)=
因此的取值范围是
(2)若则,
由正弦定理,得
设=,则,
所以
即
所以实数的取值范围为
14. （I）证明：依题意知：
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
（III）以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0,0,0）,B（0,2,0）,
C（1,1,0）,D（1,0,0）,
P（0,0,1）,M（0,1,）
由（I）知平面,则
的法向量.
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
15. 如图, 设线段 的中点为 ．过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则
．假设存在点 ,则 , 且 , 即
,
所以,．
于是, 故
．
若 (如图),则
.
当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, ． 故 为正三角形.
若 ,则由对称性得
．
又 , 所以,椭圆 的离心率 的取值范围是, 直线 的斜率为 ．
16. （Ⅰ）由题设知,对任意,都有
,
（Ⅱ）证法1：由已知得,
又.
当时,
设 ①
则 ②
①-②,得
证法2：由已知得,
（1） 当时,由,知不等式成立.假设当不等式成立,即,那么
要证 ,只需证
即证 ,则只需证………………10分
因为成立,所以成立.
这就是说,当时,不等式仍然成立.
根据（1）和（2）,对任意,且,都有
只有这个了!
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