Question

已知直线l分别与x轴、y轴交于A（a，0），B（0，b）点，且和圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切，（其中a＞2，

Answer 1

解题思路：（1）由题意，直线AB的方程为

x

a

+

y

b

＝1

，圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化为标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，根据直线和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论；

（2）由（1），结合两点间的距离公式，利用基本不等式，求线段AB长度的最小值．

（1）由题意，直线AB的方程为[x/a+

y

b＝1，

圆C：x²+y²-2x-2y+1=0化为标准方程为：（x-1）²+（y-1）²=1．

∵直线和圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切，

∴

|

1

a+

1

b−1|

1

a2+

1

b2]=1，

化简可得ab-2a-2b+2=0；

（2）ab-2a-2b+2=0可化为（a-2）（b-2）=2，

设a-2=m，b-2=n，则a=2+m，b=2+n，m＞0，n＞0，mn=2．

|AB|=

a2+b2=

(2+m)2+(2+n)2=

8+m2+n2+4(m+n)≥

8+2mm+8

mn=

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．