Question

已知函数f（x）=ax-[b/x]-2lnx，f（1）=0若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f

Answer 1

解题思路：先利用导数的几何意义求出数列的递推公式，再证之．

x＞0，f（1）=a-b=0，∴a=b，f^′（x）=a+

a

x2-

2/x]，

∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，

∴f^′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1

∴f^′（x）=(

1

x−1)2，a_n+1=a_n²-na_n+1

下面用数学归纳法证明：

（Ⅰ） 当n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；

（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a_k≥k+2，

a_k-k≥2＞0，

∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3

也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2成立

根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立

点评：

本题考点： 直线的斜率；导数的运算；数学归纳法．

考点点评： 本题主要考查数学归纳法，在证明ak+1≥（k+1）+2成立时，要明确要证的目标，应用假设的结论．