Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||

Answer 1

（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（

），依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

＜|AB|=4

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c=2，2a=2

，

∴a ²=2，b ²=c ²-a ²=2

∴曲线C的方程为

。

（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k ²）x ²-4kx-6=0 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-

，-1）∪（-1，1）∪（1，

）②

设E（x ₁，y ₁），F（x ₂，y ₂），

则由①式得x ₁+x ₂=

，

于是|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d=

，

∴S _△DEF=

若△OEF面积不小于2

，即S _△OEF≥

，则有

解得

③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-

，-1]∪（-1，1）∪（1，

）。