如图,在四棱锥D′-ABCE中,底面为直角梯形,AB=2BC=2CE=2,且AB⊥BC,AB∥CE,平面D′AE⊥平面A

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  • 解题思路:(1)取AB中点H,连接CH,则CH∥AE,由AB=2BC=2CE=2,可得四边形BCEH为正方形,从而可得BE⊥AE,进而可证BE⊥平面D′AE,故AD′⊥EB;

    (2)D′在底面上的射影为AE中点G,设AC∩HE=0,过G作AB的垂线,垂足为F,连接D′F,过G作D′F的垂线,垂足为M,则GM等于O到面ABD′的距离,求出GM,AO的长,即可得到直线AC与平面ABD′所成角的正弦值.

    (1)证明:∵平面D′AE⊥平面ABCE,

    ∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上

    取AB中点H,连接CH,则CH∥AE

    ∵AB=2BC=2CE=2,∴四边形BCEH为正方形,

    ∴BE⊥CH,CH∥AE

    ∴BE⊥AE

    ∵平面D′AE⊥平面ABCE,平面D′AE∩平面ABCE=AE,

    ∴BE⊥平面D′AE

    ∴AD′⊥EB;

    (2)由题意可知,D′在底面上的射影为AE中点G,设AC∩HE=0,则OG∥AB,∴G与O到平面ABD′的距离相等

    过G作AB的垂线,垂足为F,连接D′F,过G作D′F的垂线,垂足为M,

    则GM等于O到面ABD′的距离

    在直角△D′GF中,FG=[1/2],D′G-

    2

    2,AO=

    5

    2,∴GM=

    6

    6

    设直线AC与平面ABD′所成角为α,则sinα=

    6

    6

    5

    2=

    30

    15

    ∴直线AC与平面ABD′所成角的正弦值为

    30

    15.

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面所成的角.

    考点点评: 本题考查线面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,求出点面距离,从而可求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值,