解题思路:(1)取AB中点H,连接CH,则CH∥AE,由AB=2BC=2CE=2,可得四边形BCEH为正方形,从而可得BE⊥AE,进而可证BE⊥平面D′AE,故AD′⊥EB;
(2)D′在底面上的射影为AE中点G,设AC∩HE=0,过G作AB的垂线,垂足为F,连接D′F,过G作D′F的垂线,垂足为M,则GM等于O到面ABD′的距离,求出GM,AO的长,即可得到直线AC与平面ABD′所成角的正弦值.
(1)证明:∵平面D′AE⊥平面ABCE,
∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上
取AB中点H,连接CH,则CH∥AE
∵AB=2BC=2CE=2,∴四边形BCEH为正方形,
∴BE⊥CH,CH∥AE
∴BE⊥AE
∵平面D′AE⊥平面ABCE,平面D′AE∩平面ABCE=AE,
∴BE⊥平面D′AE
∴AD′⊥EB;
(2)由题意可知,D′在底面上的射影为AE中点G,设AC∩HE=0,则OG∥AB,∴G与O到平面ABD′的距离相等
过G作AB的垂线,垂足为F,连接D′F,过G作D′F的垂线,垂足为M,
则GM等于O到面ABD′的距离
在直角△D′GF中,FG=[1/2],D′G-
2
2,AO=
5
2,∴GM=
6
6
设直线AC与平面ABD′所成角为α,则sinα=
6
6
5
2=
30
15
∴直线AC与平面ABD′所成角的正弦值为
30
15.
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查线面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,求出点面距离,从而可求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值,