已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y-20=0.

1个回答

  • (1)设抛物线的方程为y 2=4px,则其焦点为(p,0)

    与直线方程4x+y-20=0联立,有:(-4x+20) 2=4px

    ∴4x 2-(p+40)x+100=0,且y=-4x+20

    该方程的解为B,C两点的坐标(x 2,y 2),(x 3,y 3

    x 2+x 3=

    p+40

    4 (1)

    y 2+y 3=-4(x 2+x 3)+40=-p (2)

    设A(x 1,y 1

    ∵A在抛物线上

    ∴y 1 2=4px 1(3)

    △ABC重心坐标为:(

    x 1 + x 2 + x 3

    3 ,

    y 1 + y 2 + y 3

    3 )

    ∵重心为抛物线焦点

    x 1 + x 2 + x 3

    3 =p,

    y 1 + y 2 + y 3

    3 =0

    将(1),(2)代入,得:

    x1+

    p+40

    4 =3p,y 1-p=0

    与(3)联立,三个方程,x 1,y 1,p三个未知数,可解

    解得:p=4

    故抛物线的方程为y 2=16x.

    (2)设点M(a,b) P(x 4,y 4) Q(x 5,y 5

    ①当直线L的斜率不存在时 即 x 4=x 5=a 且 a>0

    则:令 y 4=4

    a ,y 5=-4

    a

    ∵∠POQ=90°∵

    OQ =(a,-4

    a )

    OP =(a,4

    a )

    OQ •

    OP =a 2-16a=0

    解得:a=16 或 a=0(舍去)

    ②当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为:

    y-b=k(x-a) (k≠0)

    ∴联立方程:

    y-b=k(x-a)

    y 2 =16x

    消去x 得:ky 2-16y+16b-16ka=0

    ∴y 4+y 5=

    16

    k ,y 4×y 5=

    16b-16ka

    k

    ∴x 4×x 5=

    (ka-b) 2

    k 2

    ∵∠POQ=90°

    OQ •

    OP =x 4×x 5+y 4×y 5=

    16b-16ka

    k +

    (ka-b) 2

    k 2 =0

    即:k 2(a 2-16a)+k(16b-2ab)+b 2=0对任意的k≠0都恒成立

    ∴有方程组:

    a 2 -16a=0

    16b-2ab=0

    b 2 =0 且a≠0

    ∴解得:a=16,b=0

    ∴点M(16,0)

    综上所述:存在定点M,使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点,

    点M的坐标为:(16,0)