(1)设抛物线的方程为y 2=4px,则其焦点为(p,0)
与直线方程4x+y-20=0联立,有:(-4x+20) 2=4px
∴4x 2-(p+40)x+100=0,且y=-4x+20
该方程的解为B,C两点的坐标(x 2,y 2),(x 3,y 3)
x 2+x 3=
p+40
4 (1)
y 2+y 3=-4(x 2+x 3)+40=-p (2)
设A(x 1,y 1)
∵A在抛物线上
∴y 1 2=4px 1(3)
△ABC重心坐标为:(
x 1 + x 2 + x 3
3 ,
y 1 + y 2 + y 3
3 )
∵重心为抛物线焦点
∴
x 1 + x 2 + x 3
3 =p,
y 1 + y 2 + y 3
3 =0
将(1),(2)代入,得:
x1+
p+40
4 =3p,y 1-p=0
与(3)联立,三个方程,x 1,y 1,p三个未知数,可解
解得:p=4
故抛物线的方程为y 2=16x.
(2)设点M(a,b) P(x 4,y 4) Q(x 5,y 5)
①当直线L的斜率不存在时 即 x 4=x 5=a 且 a>0
则:令 y 4=4
a ,y 5=-4
a
∵∠POQ=90°∵
OQ =(a,-4
a )
OP =(a,4
a )
∴
OQ •
OP =a 2-16a=0
解得:a=16 或 a=0(舍去)
②当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为:
y-b=k(x-a) (k≠0)
∴联立方程:
y-b=k(x-a)
y 2 =16x
消去x 得:ky 2-16y+16b-16ka=0
∴y 4+y 5=
16
k ,y 4×y 5=
16b-16ka
k
∴x 4×x 5=
(ka-b) 2
k 2
∵∠POQ=90°
∴
OQ •
OP =x 4×x 5+y 4×y 5=
16b-16ka
k +
(ka-b) 2
k 2 =0
即:k 2(a 2-16a)+k(16b-2ab)+b 2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组:
a 2 -16a=0
16b-2ab=0
b 2 =0 且a≠0
∴解得:a=16,b=0
∴点M(16,0)
综上所述:存在定点M,使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点,
点M的坐标为:(16,0)