无限小数的产生原因?为什么会有无限小数?

3个回答

  • 从哲学的角度看数学的进制计数法和无限小数

    下面,我以把 x 单位长度的线段分成 n 等份为例,从哲学的角度来阐述一下数学的进制计数法和无限小数.

    人类这样定义了用 B 进制计数法把 x 单位长度的线段分成 n 等份的规则:

    第一步,获取 x/n 的整数部分.

    看看线段有几个整 n 个单位长,如果线段有 m 个整 n 个单位长,m 就是 x/n 的整数部分.

    第二步,获取 x/n 的小数部分.

    1.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/B^1 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

    2.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/B^2 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

    3.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/B^3 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

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    按上述规则,用十进制计数法把 x 单位长度的线段分成 n 等份:

    第一步,获取 x/n 的整数部分.

    看看线段有几个整 n 个单位长,如果线段有 m 个整 n 个单位长,m 就是 x/n 的整数部分.

    第二步,获取 x/n 的小数部分.

    1.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/10 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

    2.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/100 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

    3.如果线段的余下部分(即 x-m*n 部分)正好有 k 个整 1/1000 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.

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    那么无限小数是怎么产生的呢?

    人们在试图获取 x/n 的小数部分时,总是(这也是没办法的)看线段的余下部分(即 x-m*n 部分)是不是正好有 k 个整 1/B^i [注:i 是自然数] 单位长,如果没有就再看是不是正好有 k 个整 1/B^(i+1) 单位长,如此下去,直到发现余下部分正好有 k 个整 1/B^(i+j) [注:j 也是自然数] 单位长,才真正得到了小数部分 k .但是,因为物质是连续的(至少至今在人们的头脑中是这样的),所以这样的“正好”并不总是存在,很多情况是永远没有的,因此人们不得不在头脑中形成无限小数这个概念,实际上现实物质世界没有无限小数.如果一直不能发现这样的“正好”就只能取近似值做小数部分了,毕竟人类还要生存发展,不能跟无限小数没休止地马拉松.

    所以,数学不是自然存在的,它只是人类在生活和科学上经常使用的一种工具而不是目的,它只是人类量化自然界的一门语言,而且大部分的量化是无可奈何地近似量化.