从哲学的角度看数学的进制计数法和无限小数
下面,我以把 x 单位长度的线段分成 n 等份为例,从哲学的角度来阐述一下数学的进制计数法和无限小数.
人类这样定义了用 B 进制计数法把 x 单位长度的线段分成 n 等份的规则：
第一步,获取 x/n 的整数部分.
看看线段有几个整 n 个单位长,如果线段有 m 个整 n 个单位长,m 就是 x/n 的整数部分.
第二步,获取 x/n 的小数部分.
1.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／B^1 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
2.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／B^2 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
3.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／B^3 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
4.......
5.......
6.......
............
按上述规则,用十进制计数法把 x 单位长度的线段分成 n 等份：
第一步,获取 x/n 的整数部分.
看看线段有几个整 n 个单位长,如果线段有 m 个整 n 个单位长,m 就是 x/n 的整数部分.
第二步,获取 x/n 的小数部分.
1.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／10 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
2.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／100 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
3.如果线段的余下部分（即 x-m*n 部分）正好有 k 个整 1／1000 单位长,那么获取 x/n 的小数部分成功,n 等份分割线段结束,每段长度为 m.k .否则下一步.
4.......
5.......
6.......
............
那么无限小数是怎么产生的呢?
人们在试图获取 x/n 的小数部分时,总是（这也是没办法的）看线段的余下部分（即 x-m*n 部分）是不是正好有 k 个整 1／B^i [注：i 是自然数] 单位长,如果没有就再看是不是正好有 k 个整 1／B^(i+1) 单位长,如此下去,直到发现余下部分正好有 k 个整 1／B^(i+j) [注：j 也是自然数] 单位长,才真正得到了小数部分 k .但是,因为物质是连续的（至少至今在人们的头脑中是这样的）,所以这样的“正好”并不总是存在,很多情况是永远没有的,因此人们不得不在头脑中形成无限小数这个概念,实际上现实物质世界没有无限小数.如果一直不能发现这样的“正好”就只能取近似值做小数部分了,毕竟人类还要生存发展,不能跟无限小数没休止地马拉松.
所以,数学不是自然存在的,它只是人类在生活和科学上经常使用的一种工具而不是目的,它只是人类量化自然界的一门语言,而且大部分的量化是无可奈何地近似量化.