（Ⅰ）令x-2=t,则x=t+2．
由于f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2）,
所以f（t）=a（t+2）2-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at2+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax2+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的图象关于y轴对称
∴a≠0且3（a+1）=0,即a=-1
故f（x）=-x2+1
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x2+1）2+1
=-x4+2x2F（x）=pg（x）+f（x）=-px4+（2p-1）x2+1
设存在p（p＜0）,使F（x）满足题目要求,
则当-∞＜x1＜x2≤-3时,
F（x）是减函数,即F（x1）-F（x2）
=（x12-x22）[2p-1-p（x12+x22）]＞0
由假设-x1＞-x2≥3＞0,∴x12＞x22＞9
∴2p-1-p（x12+x22）＞0 ①
又p＜0,x12+x22＞18∴-p（x12+x22）＞-18p
∴2p-1-p（x12+x22）＞2p-1-18p=-16p-1
要使①式恒成立,只须-16p-1≥0即p≤-
116
又当-3＜x1＜x2＜0时,F（x）是增函数,
即F（x1）-F（x2）＜0,也就是2p-1-p（x12+x22）＜0 ②
此时0＜-x2＜-x1＜3．x12+x22＜18-p（x12+x22）＜-18p,
2p-1-p（x12+x22）＜-16p-1
要使②式恒成立,只须-16p-1≤0即p≥-
116
故存在p=-
116满足题目要求．
另依题意F（-3）是F（x）的极小值,∴F′（-3）=0．
∵F'（x）=-4px3+2（2p-1）x,∴-4p（-3）3+2（2p-1）（-3）=0,
即p=-
116．当p=-
116时,
F(x)=
116x4-
98x2+1,F′(x)=
14x3-
94x=
14x(x2-9)
∴当x＜-3时,F'（x）＜0,F（x）在（-∞,-3]上是减函数；
当x∈（-3,0）时,F（x）是增函数．
故存在p=-
116满足题目要求．