（1）∵AO1是⊙O2的切线,
∴O1A⊥AO2,
∴∠O2AB+∠BAO1=90°,
又O2A=O2C,O1A=O1B,
∴∠O2CB=∠O2AB,∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1,
∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°,
∴O2C⊥O2B,
即O2C⊥O1O2；
（2）延长O2O1交⊙O1于点D,连结AD,
∵BD是⊙O1直径,
∴∠BAD=90°,
又由（1）可知∠BO2C=90°,
∴∠BAD=∠BO2C,
又∠ABD=∠O2BC,
∴△O2BC∽△ABD,
∴,
∴AB·BC=O2B·BD,
又BD=2BO1,
∴AB·BC=2O2B·BO1.
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB,
即∠D=∠O2AB,
又∠AO2B=∠DO2A,
∴△AO2B∽△DO2A,
∴,
∴AO22=O2B·O2D,
∵O2C=O2A,
∴O2C2=O2B·O2D,
①又由（2）AB·BC=O2B·BD
②由①-②得,O2C2-AB·BC= O2B2,即
42-12=O2B2,
∴O2B=2,
又O2B·BD=AB·BC=12,
∴BD=6,
∴2AO1=BD=6,
∴AO1=3.