1. 证: 设 k1β1+k2β2+k3β3=0.
则 k1(2α1-α2)+k2(α1+α2)+k3(-α1+3α2)=0
即 (2k1+k2-k3)α1+(-k1+k2+3k3)α2=0
因为 2k1+k2-k3 =0
-k1+k2+3k3=0
有非零解, 比如 (4,-5,3)
即有 4β1-5β2+3β3=0
所以 β1,β2,β3 线性相关.
证法2: (β1,β2,β3)=(2α1-α2,α1+α2,-α1+3α2)
c1-2c2, c2+c3
--> (-3α2,4α2,-α1+3α2)
c1+(3/4)c2
--> (0,4α2,-α1+3α2)
所以 r(β1,β2,β3)=r(0,4α2,-α1+3α2)