设P点坐标为(x1,y1),显然y1 = x1^2/2.y=x^2/2的导数为y' = x,可见抛物线C在P点的切线斜率为x1.由于直线l与抛物线C在P点的切线垂直,直线l的斜率必为k = -1/x1.设直线l的方程为y = - x/x1 + b,因为l过P点(x1, x1^2/2),有x1^2/2 = -x1/x1 + b,
即b = x1^2/2 + 1.可知直线l的方程为
y = -x/x1 + x1^2/2 + 1.
接下来令Q点坐标为(x2,y2),显然y2 = x2^2/2.由于Q点(x2,x2^2/2)在直线l上,有
x2^2/2 = -x2/x1 + x1^2/2 + 1. . (*)
另一方面,向量OP = (x1, x1^2/2),向量OQ = (x2,x2^2/2).由于向量OP*向量OQ = 0,有
x1 * x2 + x1^2 * x2^2 / 4 = 0,
可见x1 * x2 = -4,x2 = -4/x1.代入(*)式有
(16/x1^2)/2 = 4/x1^2 + x1^2/2 + 1,
两边同时乘以2x1^2并整理可得
x1^4 + 2x1^2 - 8 = 0,
即(x1^2 - 2)(x1^2 + 4) = 0.显然x1^2 = 2,x1 = ±√2,x2 = -4/x1 = -+2√2.
P、Q坐标分别为(√2, 1)、(-2√2,4)或(-√2, 1)、(2√2,4).
先考虑P、Q坐标为(√2, 1)、(-2√2,4)的情况.由于向量OP*向量OQ = 0,可知OP⊥OQ,则PQ为过OPQ的圆的直径.PQ中点坐标为([√2+(-2√2)]/2, (1+4)/2) = (-√2/2,5/2),长度为√[(3√2)^2 + 3^2] = 3√3.可见过OPQ的圆以(-√2/2,5/2)为圆心,半径为3√3/2,其方程为
(x+√2/2)^2 + (y-5/2)^2 = 27/4.
若P、Q坐标为(-√2, 1)、(2√2,4),同理可知过OPQ的圆的方程为
(x-√2/2)^2 + (y-5/2)^2 = 27/4.