(1)见解析；（2）∠ADC的度数为37°．
试题分析：
（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出△ABD≌△CDB；
（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．
试题解析：
（1）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD和△CDB（HL）；
（2）∵BE是切线，
∴AB⊥BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DBE=37°，
∴∠ABD=53°，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，
∴∠ADC的度数为37°．