依题意知:积分∫2yf(x)dx+x^2f'(x)dy与路径无关
∂[2yf(x)]/∂y=∂[x^2f'(x)]/∂x
2f(x)=2xf'(x)+x^2f''(x)
得到微分方程x^2y''+2xy'-2y=0
令x=e^t,t=lnx,dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/x
同理d^2y/dx^2=(d^2y/dt^2-dy/dt)/x^2
转化为y关于自变量t的方程:y''+2y'-2y=0
特征方程r^2+2r-2=0,r=-1±(√3)i
y=e^(-t)[C1cos(√3)t+C2sin(√3)t]
f(x)=[C1cos[(√3)lnx]+C2sin[(√3)lnx]]/x
代入f(1)=2,f'(1)=1
C1=2,C2=√3
f(x)=[2cos[(√3)lnx]+(√3)sin[(√3)lnx]]/x
f'(x)={[-(2√3)sin[(√3)lnx]+3cos[(√3)lnx]]-[2cos[(√3)lnx]+(√3)sin[(√3)lnx]}/x^2