解题思路：（Ⅰ）由翻折得到：△OPE与△FPE，△ABP与△DBP全等，进而得到以P为顶点的四个小角中，∠OPE与∠FPE，∠APB与∠DPB相等，即可得到∠OPE+∠APB为直角，而∠OEP+∠OPE也为直角，所以∠OPE=∠APB，再加上直角等于直角，得到所证的两三角形相似；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的两三角形相似，得到对应边成比例即可列出y与x的二次函数关系式，由x的范围，考虑顶点取到，所以当x等于顶点横坐标时，y的最大值为顶点纵坐标，根据顶点坐标公式求出y的最大值即可；
（Ⅲ）根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，求出OP=OE=1，AP=AB=3，得到点P，点B，点E三点坐标，设出抛物线的一般式，把三点坐标代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值，确定出抛物线的解析式；
（Ⅳ）分点E和点P分别为直角顶点两种情况考虑：当点P位直角顶点时，Q与B重合，所以B的坐标即为Q的坐标；当E为直角顶点时，先根据P和B的坐标求出直线PB的方程，由直线PB与直线EQ平行，得到k值相同，又根据E的坐标，写出直线EQ的方程，与抛物线解析式联立即可求出Q的坐标．
（Ⅰ）证明：由翻折可知：△OPE≌△FPE，△ABP≌△DBP，
∴∠OPE=∠FPE，∠APB=∠DPB，又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°，
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°，又∠OPE+∠OEP=90°，
∴∠OEP=∠APB，又∠POE=∠BAP=90°，
∴△POE∽△BAP；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：△POE∽△BAP，
∴[OP/AB]=[OE/AP]，又OP=x，OE=y，故PA=4-x，AB=3，
即[x/3]=[y/4−x]，化简得：y=[1/3]x（4-x）=-[1/3]x2+[4/3]x，且0＜x＜4，
∴当x=-[b/2a]=-
4
3
2×(−
1
3)=2时，ymax=
4ac−b2
4a=
4×(−
1
3)×0−(
4
3)2
4×(−
1
3)=[4/3]；
（Ⅲ）根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，且OP=OE=1，AP=AB=3，
则E（0，1），P（1，0），B（4，3），设过三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
把三点坐标代入得：
c＝1①
a+b+c＝0②
16a+4b+c＝3③，
③-②×4得：12a-3c=3，把c=1代入解得：a=[1/2]，
把a=[1/2]，c=1代入②解得：b=-[3/2]，故y=[1/2]x2-[3/2]x+1；
（Ⅳ）存在．
当点P为△EPQ的直角顶点时，由EP⊥PB，此时Q与B重合，可得Q1（4，3）；
当点E为△EPQ的直角顶点时，过点E作EQ2⊥EP，交抛物线与点Q2，
由EQ2∥PB，设直线PB的方程为：y=kx+b，
把P（1，0）和B（4，3）代入得：
k+b＝0①
4k+b＝3②，
②-①得：3k=3，解得：k=1，把k=1代入①得：b=-1，
所以直线PB的方程为：y=x-1，则直线EQ2的斜率为1，
则直线EQ2的方程为：y=x+m，把E（0，1）代入得：m=1，即直线EQ2的方程为：y=x+1，
与抛物线解析式联立消去y得：x+1=[1/2]x2-[3/2]x+1，即x（x-5）=0，解得：x=0或x=5，
把x=5代入直线EQ2方程y=x+1得：y=6，故Q2（5，6），
综上，满足题意的Q点的坐标为（4，3）或（5，6）．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 本题要求学生掌握证明相似的方法：两对对应角相等的两三角形相似；两对对应边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；待定系数法的步骤：先设出函数解析式，把已知点的坐标代入得到一个方程组，求出方程组的解即可得到所设字母的值，确定出函数解析式．同时注意翻折得到三角形全等以及掌握分类讨论的数学思想．