解题思路：根据题意，分析可得所给乘积式的结果，需要在每一个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得到结果．
根据题意，乘积（a+b+c+d）（r+s+t）（x+y）展开后的每一项是在（a+b+c+d）、（r+s+t）、（x+y）这3个式子中任取一项后相乘，
而（a+b+c+d）中有4种取法，（r+s+t）中有3种取法，（x+y）中有2种取法，
由乘法原理，可得共有4×3×2=24种取法，
即乘积（a+b+c+d）（r+s+t）（x+y）展开后，共有24项．
故答案为：24．
点评：
本题考点： 计数原理的应用．
考点点评： 此题主要考查乘法计数原理在求多项式乘法因式个数中的应用．对于此题分析出完成事件所需要分三步是解题的关键，题目计算量小，属于基础题目．