Question

以边长为a的正方形的四个边为半径各自在正方形内画四分之一圆形成一个图案,请问中间的重合部分面积

Answer 1

如图,正方形ABCD边长为a,点E为弧AC与弧BD的交点,连结DE,CE,则DE=CE=CD=a,所以△CDE为等边三角形.那么∠DCE=60°,∠ECB=∠BCD-∠DCE=30°,可求得扇形BCE面积为π/12a^2为了叙述方便,我们不妨设线段AC与弧AC围成的图形面积为x,线段EF,BF与弧BE围成的图形面积为y,弧BE,EG,BG围成的类似三角形的图形面积为z那么所求阴影部分面积就为2x-2z,x=扇形ADC的面积-三角形ADC的面积=πa^2/4-a^2/2=(π/4-1/2）a^2为了求z的面积,先得求y的面积y=梯形BCEF的面积-扇形BCE的面积,其中EF的长为a-等边三角形CDE的高,即EF=（1-√3/2）a,梯形面积为（2-√3/2）a*（1/2）a/2=（1/2-√3/8）a^2所以y=（1/2-√3/8）a^2-π/12a^2z=1/2a^2-x-4y=(1/2-π/4+1/2-2+√3/2）a^2=(√3/2-π/4-1）a^2最后2x-2z=2(π/4-1/2-√3/2+π/4+1)a^2=(π-√3+1）a^2