Question

f(x)=ax^2+bx+c,x2>x1,f(x1)≠f(x2),求证f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]方程有一

Answer 1

设 ：g（x）= f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2

则 ：g（x1）= f(x1)-[f(x1)+f(x2)]/2=[f(x1)-f(x2)]/2

g（x2）= f(x2)-[f(x1)+f(x2)]/2=[f(x2)-f(x1)]/2

∵ f(x1)≠f(x2)

∴g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]^2/4＜0

∴ 函数 g（x）= f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2必有一零点在区间(x1,x2)内

也就是 f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]方程有一实根在(x1,x2)内