已知等比数列an各项为实数,且公比为q,前n项和为Sn,且S3,S6,S9成等差数列,(1)求q的值;(2)求证:a2、

1个回答

  • (1)

    设等比数列{an}的公比为q

    S3,S6,S9成等差数列

    那么2S6=S3+S9

    当q=1时,Sn=na1

    ∴12a1=3a1+9a1,符合题意

    当q≠1时,

    那么2a1(q^6-1)/(q-1)=a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^9-1)/(q-1)

    2q^6-2=q^3-1+q^9-1

    q^9-2q^6+q^3=0

    约掉q^3

    q^6-2q^3+1=0

    (q^3-1)^2=0

    那么q^3=1,q=1舍去

    ∴q=1

    (2)

    那么{an}为常数列

    an=a1

    当然a2,a8,a5为等差数列

    【题目有问题吧】,

    觉得是S3,S9,S6为等差数列的

    那么2S9=S3+S6

    当q=1时,Sn=na1

    ∴2S9=18a1

    S3+S6=3a1+6a1=12a1,

    不符合题意

    当q≠1时,

    那么2a1(q^9-1)/(q-1)=a1(q^3-1)/(q-1)+a1(q^6-1)/(q-1)

    2q^9-2=q^3-1+q^6-1

    2q^9-q^6-q^3=0

    约掉q^3

    2q^6-q^3-1=0

    (q^3-1)(2q^3+1)=0

    那么q^3=1,舍去或q^3=-1/2

    ∴q=-1/³√2=-(³√4)/2

    (2)

    q=-2^(-1/3) q^3=-1/2

    an=a1*q^(n-1)

    那么2a8=2a1*q^7=-2a1*2^(-7/3)=-a1*2^(-4/3)

    a2+a5=a1q+a1q^4=a1(q+q^4)

    =-a1q(1+q^3)

    =-a1*2^(-1/3)*[1-1/2]

    =-a1*2^(-1/3)*2^(-1)

    =-a1*2^(-4/3)

    ∴2a8=a2+a5

    那么a2,a8,a5成等差数列.