Question

已知a，b，c∈N * ，方程ax 2 +bx+c=0在区间（-1，0）上有两个不同的实根，求a+b+c的最小值．

Answer 1

设x ₁和x ₂方程ax ²+bx+c=0有两个相异根，由a，b，c∈N ^*，

两个根都在区间（-1，0）上，

可得函数f（x）=ax ²+bx+c在区间（-1，0）上与x轴有两个不同的交点，

故有f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b ²-4ac＞0，

且 x 1 +x 2 =-

b

a ∈（-2，0），且x ₁•x ₂=

c

a ∈（0，1）．

故c的最小值为1，故有

a+1＞b

a＞c=1

b 2 ＞4a ．

当a=2时，正整数b不存在；当a=3时，正整数b不存在；

当a=4时，正整数b不存在；当a=5时，存在正整数b=5．

综上可得，c的最小值为1，a的最小值为5，b的最小值为5，

故a+b+c的最小值为1+5+5=11．