（I）由题设知
a n+1 =t b n+1 +1
a n =2 b n+1 ，得 a n+1 =
t
2 a n +1 ．
又已知t≠2，可得 a n+1 +
2
t-2 =
t
2 ( a n +
2
t-2 ) ．
由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知 a 1 +
2
t-2 =tb+
t
t-2 ≠0，
t
2 ≠0 ，
所以 { a n +
2
t-2 } 是等比数列，其首项为 tb+
2
t-2 ，公比为
t
2 ．
于是 a n +
2
t-2 =(tb+
2
t-2 )(
t
2 ) n-1 ，即 a n =(tb+
2
t-2 )(
t
2 ) n-1 -
2
t-2 ．
又
lim
n→∞ a n 存在，可得 0＜|
t
2 |＜1 ，所以-2＜t＜2且t≠0.
lim
n→∞ a n =
2
2-t ．
（II）证明：因为g（x）=f -1（x），
所以a n=g（b n+1）=f -1（b n+1），即b n+1=f（a n）．
下面用数学归纳法证明a n+1＜a n（n∈N *）．
（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），
得a 1=f（b 1）=f（1）＜1（5），b 2=f（a 1）＜f（1）＜1（6），a 2=f（b 2）＜f（1）=a 1（7），
即a 2＜a 1，结论成立．
（8）假设n=k（9）时结论成立，即a k+1＜a k（10）．由f（x）（11）为增函数，得f（a k+1）＜f（a k）（12），即b k+2＜b k+1（13），进而得f（b k+2）＜f（b k+1）（14），即a k+2＜a k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）可知，对任意的n∈N *（17），a n+1＜a n（18）．