如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.

3个回答

  • 解题思路:(1)有BD=CD,可得∠1=∠BCD,那么就有∠2=∠BCD,从而CD∥AB;

    (2)由∠2=∠3,可得BE=AE,又因为CD∥AB,同样可知DE=CE,根据SAS即可证出:△BDE≌△ACE;

    (3)由于O是AB的中点,因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线,进而可得出OF=[1/2]BE.根据(2)的全等三角形,可得出∠ACE=90°,因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线,来得出AF=EF.

    证明:(1)∵BD=CD,

    ∴∠BCD=∠1;

    ∵∠1=∠2,

    ∴∠BCD=∠2;

    ∴CD∥AB.

    (2)∵CD∥AB,∴∠CDA=∠3.

    ∵∠BCD=∠2=∠3,

    ∴BE=AE.

    且∠CDA=∠BCD,

    ∴DE=CE.

    在△BDE和△ACE中,

    DE=CE

    ∠DEB=∠CEA

    BE=AE.

    ∴△BDE≌△ACE(SAS);

    (3)∵△BDE≌△ACE,

    ∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°

    ∴∠ACH=90°-∠BCH;

    又∵CH⊥AB,

    ∴∠2=90°-∠BCH;

    ∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,

    ∴AF=CF;

    ∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,

    又∵∠ACH=∠4,

    ∴∠AEC=∠ECF;

    ∴CF=EF;

    ∴EF=AF;

    ∵O为AB中点,

    ∴OF为△ABE的中位线;

    ∴OF=[1/2]BE.

    点评:

    本题考点: 三角形中位线定理;平行线的判定;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题利用了内错角相等,两直线平行,以及全等三角形的判定和性质,等角对等边,中位线的判定等知识.综合性强,难度较大.