你说的转动惯量：三分之一的M乘以L平方,是均质杆以端点为轴的转动惯量.
你用红笔圈的是：均质杆以质心为轴的转动惯量,
注意转动惯量的下标.
这道题觉得用瞬心法估计要简单些：
先求杆子AB的瞬心：
由A点的速度为：V,方向水平,所以瞬心位于通过A点的竖直线上,又AB杆以ω做转动,
所以瞬心距离A点的距离为：r=v/ω
也就是说,杆子与水平方向成30°夹角瞬间,杆子绕瞬心做纯转动.
则杆AB的动能只要求出此时的角动能就可以了.
由：Jc=ml^2/12
瞬心距离杆子AB质心的距离：d^2=（l/2）^+(v/ω)^2-2(l/2)(v/ω)cos60°
则杆子相对瞬心的转动惯量Jo=Jc+md^2=ml^2/12+m[（l/2）^2+(v/ω)^2-2(l/2)(v/ω)cos60°]
Ek=Jcω^2/2=mω^2l^2/24+mω^2l^2/8+mv^2/2-mlvω/4