（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．
∴BE是⊙O的直径．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．
∴∠CBD=∠ODB．
∴BC ∥ OD．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴OD⊥AC．（1分）
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．（2分）
（2）设⊙O的半径为r，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=15．（3分）
∵BC ∥ OD，
∴△ADO ∽ △ACB．
∴
AO
AB =
OD
BC ，
∴
15-r
15 =
r
9 ，
∴ r=
45
8 ，
∴ BE=
45
4 ，（4分）
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF ∽ △BAC，
∴
EF
AC =
BE
BA =
45
4
15 =
3
4 ．（5分）
1年前
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