Question

已知n∈N*，(2x−1x)n=anxn+an-1xn-1+…+a1-nx1-n+a-nx-n展开式中的常数项为-160

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用二项式定理可写出

(2x−

1

x

)

n

展开式的通项T_r+1=

C

r

n

（2x）^n-r（-x^-1）^r=（-1）^r•2^n-r

C

r n

•x^n-2r，由常数项为-160可求得r=3，从而可得n=2r=6．

（Ⅱ）分别对x赋值1与-1，再将得到的两式相加即可求得a_n+a_n-2+…+a_2-n+a_-n的值．

（Ⅰ）通项为T_r+1=

Crn（2x）^n-r（-x^-1）^r=（-1）^r•2^n-r

Crn•x^n-2r，…（2分）

由条件可知n=2r，故（-1）^r2^r

Cr2r=-160，…（4分）

解得r=3，从而n=6．…（6分）

（Ⅱ）取x=1，有a₆+a₅+a₄+…+a_-4+a_-5+a_-6=1，…（8分）

取x=-1，有a₆-a₅+a₄+…+a_-4+-a_-5+a_-6=1，…（10分）

以上两式相加有：a₆+a₄+…+a_-4+a_-6=1． …（12分）

点评：

本题考点： 二项式定理的应用．

考点点评： 本题考查二项式定理的应用，着重考查其展开式的通项公式的应用，求得n=6是关键，考查赋值法的应用，属于中档题．