在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆e:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,且过点(√3,

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  • 1.由题意知椭圆的焦点在x轴上,且离心率e=c/a=√3/2

    令c=√3k,a=2k,k>0,则b=k

    所以椭圆方程可化为:x²/4b² +y²/b²=1即x²+4y²=4b²

    又椭圆过点(√3,1/2),将此点坐标代入方程可得:

    3+1=4b²

    解得b²=1,则a²=4

    所以椭圆E的标准方程为:x²/4 +y²=1

    2.由上易知a=2,b=1

    则椭圆E的左顶点坐标为A1(-2,0),右顶点坐标为A2(2,0),上顶点坐标为B(0,1)

    易知以线段OA2为直径的圆的圆心坐标为(1,0),半径r=1

    而直线A1B的方程为x/(-2) +y/1=1即x-2y+2=0 (注:直线的截距式方程)

    又圆C与上述圆关于直线A1B:x-2y+2=0对称

    所以两个圆的圆心也关于直线A1B:x-2y+2=0对称,且圆C的半径r=1

    以下求圆C的圆心坐标(m,n)

    有[n/(m-1)]*(1/2)=-1且(m+1)/2 -2*(n/2)+2=0

    则n=-2m+2且m-2n+5=0

    解得m=-1/5,n=12/5

    所以圆C的方程为(x+1/5)²+(y-12/5)²=1

    3.由题意设点P坐标为 ( -1/5 +cost,12/5 +sint ) t∈[0,2π)

    由上知A1(-2,0),B(0,1),则| A1B |=√5

    又直线A1B的方程为x-2y+2=0

    则点P到直线A1B的距离为:

    d=| -1/5 +cost-24/5 -2sint |/√5

    =| 5+2sint-cost |/√5

    =| 5+√5*[(2/√5)sint -(1/√5)cost] | /√5

    令cosβ=2/√5,sinβ=1/√5

    则d=| 5+√5*(cosβsint -sinβcost) | /√5

    =| 5+√5*sin(t -β) | /√5

    所以当sin(t -β)=1时,d有最大值为(5+√5)/√5=√5 +1

    因为三角形PA1B的面积S=1/2 *|A1B|*d

    所以S最大值=1/2 *√5*(√5 +1)=(5+√5)/2