Question

已知函数f(x)=1/x+alnx（a∈R）.

Answer 1

问题(1):

(1,+∞)递增,有f(x+1)-f(x)>0

即 aln(x+1)+1/(x+1)-aln(x)-1/x>0

整理得：aln((x+1)/x)>1/(x(x+1))

ln((x+1)/x)>0 因此a>1/(x(x+1)ln((x+1)/x))

不等式右边 1/(x(x+1))和1/ln((x+1)/x)都是减函数,所以x=1时不等式右边得到极大值,a只要大于该极大值就行,因此a>1/(2ln2)

问题(2)：

f(x)成立需x>0

f(x)=0 有 alnx=-1/x,若此式成立必须a