(2014•黄冈模拟)已知对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是f(x)=x3-3ax(a∈R)的切线,则a的取值范围是

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  • 解题思路:求出f(x)导函数的值域,由直线x+y+m=0都不是f(x)=x3-3ax的切线得到-1不属于导函数的值域,得到关于a的不等式,求出解集得到a的取值范围即可.

    由f(x)=x3-3ax可得f′(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞),

    ∵对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是y=f(x)的切线,

    ∴-1∉[-3a,+∞),

    ∴-1<-3a,实数a的取值范围是a<

    1

    3

    故选C.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查用导数求曲线上某点切线的斜率,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.