Question

（2009•河北区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．

Answer 1

解题思路：（I）根据等差数列的定义即可证明{lga_n}是等差数列；

（Ⅱ）求出{

3

(lg

a

n

)(lg

a

n+1

)

}的通项公式，利用裂项法即可求T_n；

（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论．

（I）∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．

∴当n=1时，a₂=9a₁+10=100，

故

a2

a1＝10，

当n≥1时，a_n+1=9S_n+10 ①，

a_n+2=9S_n+1+10 ②，

两式相减得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，

即a_n+2=10a_n+1，

即

an+2

an+1＝10，

即{a_n}是首项a₁=10，公比q=10的等比数列，

则数列{a_n}的通项公式an＝10•10n−1＝10n；

则lga_n=lg10ⁿ=n，

则lga_n-lga_n-1=n-（n-1）=1，为常数，

即{lga_n}是等差数列；

（Ⅱ）∵lga_n=n，则[3

(lgan)(lgan+1)=

3

n(n+1)＝3（

1/n]-[1/n+1]），

则T_n=3（1-[1/2+

1

2−

1

3]+…+[1/n]-[1/n+1]）=3（1-[1/n+1]）=3-[3/n+1]，

（Ⅲ）∵T_n=3-[3/n+1]≥T₁=[3/2]，

∴要使T_n＞[1/4]（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，

则[3/2]＞[1/4]（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，

解得-1＜m＜6，

故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列的判断，利用裂项法求和，考查学生的运算能力．