Question

为什么全微分能得到函数连续?

Answer 1

详细证明过程书上有,这里只直观地解释一下.回顾一元函数中可微的定义,如果一元函数y=f(x)可微,则dy=f'(x)dx,把dy和dx分别理解为y和x在x0处的微小增量,即dy=y-y0,dx=x-x0,则可微表达式就变为y-y0=f'(x0)(x-x0),这就是f(x)图像在x0处的切线方程,而可微就意味着切线方程存在.对比二元函数,z=f(x,y)的全微分表达式dz=z'x*dx+z'y*dy,按照上述方法理解,其实就是二元函数在(x0,y0)处的切平面方程,所以某点处函数全微分存在就意味着在图象上该点有切平面存在,所以图象在该点也一定是连续的（不连续的图象是没有切平面的）.