解题思路：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，只须证[2/c+a＝
1
b+c
+
1
a+b]，只须证2b2=a2+c2．因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2=a2+c2成立，由此能证明b+c，c+a，a+b成调和数列．
（2）
S
n
＝1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，所以
S
2
k
=
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2
k
＞1+[k/2]，对于任一给定的N，欲使Sn＞N，只须
1+
k
2
＞N
，即k＞2（N-1），由此能够证明当n＞m时，Sn＞N．
证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证[2/c+a＝
1
b+c+
1
a+b]
只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b2=a2+c2
因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2=a2+c2成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2）Sn＝1+
1
2+
1
3+…+
1
n
∴S2k＝1+
1
2+
1
3+…+
1
2k
＞1+
1
2+(
1
4+
1
4)+(
1
8+
1
8+
1
8+
1
8)
+…+(
1
2k+
1
2k+ …+
1
2k)
＝ 1+
1
2+
1
2+…+
1
2＝1+
k
2
对于任一给定的N，欲使Sn＞N，
只须1+
k
2＞N，
即k＞2（N-1），
取m=[22（N-1）]+1（其中[22（N-1）]表示22（N-1）的整数部分），
则当n＞m时，Sn＞N．
（本题解法和答案不唯一）
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质．
考点点评： 本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
1年前
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