根据下列条件,求二次函数的解析式

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  • 解题思路:(1)设y=ax2+bx+c;(2)、(4)设y=a(x+1)2+9;(3)、(5)、(6)设y=a(x-x1)(x-x2).然后把已知点的坐标代入解方程,求出未知系数,最后确定解析式.

    (1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

    把(-1,3),(1,3),(2,6)代入解析式得,

    3=a-b+c①,

    3=a+b+c②,

    6=4a+2b+c③,

    解由①②③组成的方程组得,a=1,b=0,c=2.

    所以二次函数的解析式为y=x2+2.

    (2)设y=a(x+1)2+9,

    把(0,-8)代入解析式得,a=-17,

    ∴y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8,

    所以二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8.

    (3)∵对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为(-2,0),

    ∴与x轴的另一个交点为(4,0),

    设y=a(x+2)(x-4),

    把(0,12)代入解析式得,a=-[3/2],

    ∴y=-[3/2](x+2)(x-4)=−

    3

    2x2+3x+12,

    所以二次函数的解析式为y=−

    3

    2x2+3x+12.

    (4)设y=a(x-2)2-5,

    把(0,0)代入解析式得,a=[5/4],

    ∴y=[5/4](x-2)2-5=[5/4]x2-5x,

    所以二次函数的解析式为y=[5/4]x2-5x.

    (5)设y=a(x+1)(x+3),

    根据题意可得对称轴为直线x=-2,又函数有最小值-5,

    ∴顶点坐标为(-2,-5),代入解析式得,a=-5.

    ∴y=-5(x+1)(x+3)=-5x2-20x-15,

    所以二次函数的解析式为y=-5x2-20x-15.

    (6)∵当x=2时,函数的最大值是1,即顶点坐标为(2,1),

    ∴抛物线的对称轴为直线x=2,而图象与x轴两个交点之间的距离为2,则交点坐标分别为(1,0),(3,0),

    设y=a(x-1)(x-3),

    把(2,1)代入解析式得,a=-1,

    ∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3,

    所以二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.

    点评:

    本题考点: 待定系数法求二次函数解析式.

    考点点评: 本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和二次函数的性质.二次函数的一般式为y=ax2+bx+c;顶点式为y=a(x-k)2+h,其中(k,h)为顶点坐标;交点式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,能根据条件合理选择解析式.