Question

已知球半径为R,球内接圆柱底面半径为r,高为h,则r与h为何值时,内接圆柱体积最大值

Answer 1

已知球半径为R,球内接圆柱底面半径为r,高为h,

∵V=πr²h

r²+﹙h/2﹚²=R²

∴V=πr²h=π﹛R²－﹙h/2﹚²﹜h=π√﹛﹙R²－h²/4﹚﹙R²－h²/4﹚﹙h²﹚﹜

=π√2﹛﹙R²－h²/4﹚﹙R²－h²/4﹚h²/2﹜

∵﹙R²－h²/4﹚+﹙R²－h²/4﹚+h²/2=2R²定值

由R²－h²/4=h²/2

∴h=2√3R/3 r=√3R /3

∴V最大＝π√﹛2×﹙2R²/3﹚³﹜

=4√3πR³/9

∴ 内接圆柱体积最大值为 4√3πR³/9