Question

用数学归纳法证明cot(α/(2^n))-cotα>=n （其中180>α>0） 我整不出来谢谢大家~

Answer 1

题目转化为证明1/tan(α/2^n)-1/tanα≥n

当n=1时即1/(tanα/2)-1/tanα=

1/tan(α/2)-1/2tan(α/2)+tan(α/2)/2=1/2tan(α/2)+tan(α/2)/2≥1(均值不等式)

假设当n=k时成立,则1/tan(α/2^k)-1/tanα≥k,

我们只需证明当n=k+1时成立即1/tan(α/2^(k+1))-1/tanα≥k+1,设α/2^k=m

只需证明1/tan(m/2)-1/tanα≥1/tanm-1/tanα+1≥k+1即可

即证明1/tan(m/2)≥1/tanm+1,且1/tanm=(1-(tan(m/2))^2)/(2tan(m/2)),即

证明1/tan(m/2)≥1/2tan(m/2)-tan(m/2)/2+1,移项化简得1/2tan(m/2)+tan(m/2)/2≥1,又由均值不等式得1/2tan(m/2)+tan(m/2)/2≥1,上式可逆,故原命题成立