（2012•江西模拟）设数列设数列{an}的前n项 - 知识问答

（2012•江西模拟）设数列设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-ansn+1=0，n=1，2，3…

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解题思路：（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，解得
a
1
＝
1
2
．同理，可解得
a
2
＝
1
6
．
（2）由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．a_n=S_n-S_n-1，所以S_n-1S_n-2S_n+1=0.
S
n
＝
1
2−
S
n−1
，
1
S
n
−1
＝
2−
S
n−1
S
n−1
−1
＝−1+
1
S
n−1
−1
，由此能够证明数列{
1
s
n
−1
}是等差数列，并能求出S_n的表达式．
（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，
解得a1＝
1/2]．
同理，可解得a2＝
1
6．（4分）
（2）证明：由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．当n≥2，n∈N^*时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．
∴Sn＝
1
2−Sn−1，Sn−1＝
1
2−Sn−1−1＝
−1+Sn−1
2−Sn−1，
∴[1
Sn−1＝
2−Sn−1
Sn−1−1＝−1+
1
Sn−1−1，
∴{
1
Sn−1}是首项为
1
S1−1＝−2，公差为-1的等差数列（10分），
∴
1
Sn−1＝−2+(n−1)•(−1)＝−1−n，
∴Sn＝−
1/n+1+1＝
n
n+1]（12分）
点评：
本题考点：数列递推式；等差数列．
考点点评：第（1）题考查数列中第1项和第2项的求法，解题时要注意函2数题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意合理地进行等价转化．

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