解题思路：（1）根据已知中函数的解析式及定义域，我们只要根据对数的运算性质求出f（-x）的解析式，与f（x）比较后可得f（x）是奇函数；（2）根据复合函数单调性的求出，我们分别确定u=1−22x+1和y=log2u，进而根据同增异减的原则，可以分析出f（x）的单调区间；（3）根据函数f（x）与函数g（x）解析式的关系，易得函数g(x)＝log22x+12x+3=log22(x+1)−12(x+1)+1的图象是由f（x）图象向左平移一个单位得到的，结合（1）中结论可得函数g（x）图象的对称中心．
（1）∵函数f(x)＝log2
2x−1
2x+1(x＜−
1
2或x＞
1
2)
且f(−x)＝log2
−2x−1
−2x+1＝log2
2x+1
2x−1=log2(
2x−1
2x+1)−1=−log2
2x−1
2x+1=-f（x）
即f（x）是奇函数；（4分）
（2））∵函数f(x)＝log2
2x−1
2x+1=log2(1−
2
2x+1)
∵在(−∞，−
1
2)上u=1−
2
2x+1为增函数，y=log2u也为增函数
∴(−∞，−
1
2)是函数f(x)＝log2
2x−1
2x+1的单调递增区间
又∵奇函数在对称区间上单调性相同
∴(
1
2，+∞)也是函数f(x)＝log2
2x−1
2x+1的单调递增区间…（6分）
（3）由（1）中f（x）是奇函数
故f（x）图象的对称中心为原点（0，0）
∵函数g(x)＝log2
2x+1
2x+3=log2
2(x+1)−1
2(x+1)+1的图象是由f（x）图象向左平移一个单位得到的
故函数g(x)＝log2
2x+1
2x+3图象的对称中心为（-1，0）…（4分）
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题是函数奇偶性的证明，函数单调区间的求法，及函数图象平移的综合应用，其中（1）（2）的关键是熟练掌握判定函数奇偶性及单调性的方法，（3）的关键是分析出两个函数图象之间的位置关系．