Question

求曲线积分∫L(x+y)ds,L为连接（1.0）（0.1）两点的直线段. （ps：重点解释下ds怎样转化为dx）

Answer 1

方法一：

(1,0)到(0,1)的线段方程为：y=1-x,0≤x≤1

由弧微分公式：ds=√(1+y'²)dx=√(1+1)dx=√2dx

因此：

∫(L) (x+y) ds

=∫[0→1] (x+1-x) √2dx

=√2∫[0→1] 1 dx

=√2

方法二：用L的方程化简被积函数,L方程为：x+y=1

原式=∫(L) 1 ds = √2

（被积函数为1,积分结果为曲线长度,本题线段长度为：√2）