Question

（2014•洛阳二模）已知等差数列{an}满足：a3=4，a5+a7=14，{an}的前n项和为Sn．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，列出方程，解出首项和公差，从而写出通项公式和求和公式；

（Ⅱ）根据{a_n}的通项，化简b_n，并拆成两项的差，注意前面乘一个系数，然后运用裂项相消求和，应注意消去哪些项，保留哪些项，可以多写几项，找出规律．

（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，

∵a₃=4，a₅+a₇=14，

∴a₁+2d=4，2a₁+10d=14，

∴a₁=2，d=1，

∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，

S_n=n×2+[1/2]n（n-1）×1=

n2+3n

2，

即a_n=n+1，S_n=

n2+3n

2；

（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴a_n²-1=（n+1）²-1=n（n+2），

∴b_n=[1

n(n+2)=

1/2]（[1/n]-[1/n+2]），

∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_n-2+b_n-1+b_n

=[1/2]（1-[1/3]+[1/2]-[1/4]+[1/3]-[1/5]+[1/4]-[1/6]+[1/5]-[1/7]+…+[1/n−2]-[1/n]+[1/n−1]-[1/n+1]+[1/n]-[1/n+2]）

=[1/2]（1+[1/2]-[1/n+1]-[1/n+2]）=

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列求和的重要方法：裂项相消求和，应注意求和时哪些项消去，哪些项保留．