Question

各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，且4Sn＝a2n+2an+1，n∈N+．

Answer 1

解题思路：（1）再写一式，两式相减，证明数列{a_n}是公差为1的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；

（2）利用等差数列的求和公式，即可求数列{a_n}前n项和S_n．

（1）∵4Sn＝

a2n+2an+1，n∈N+，

∴n≥2时，4Sn−1＝an−12+2an−1+1，

两式相减可得an2−an−12−2(an+aan−1)＝0，

∵a_n，a_n-1均为正数，

∴a_n-a_n-1=2（n≥2）

∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，

又n=1时，4S₁=a₁²+2a₁+1，解得a₁=1．

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；

（2）S_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n−1)

2=n²．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．