Question

如图，A，B是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为

Answer 1

解题思路：（1）由椭圆C的离心率为[1/2]，且右准线l的方程为x=4，联立方程组成方程组，即可求得椭圆C的方程；

（2）设直线AM的方程，可得点P的坐标，根据MQ⊥PQ，可得k_MQ•k_PQ=-1，利用M在椭圆上，即可得直线PQ与x轴的交点R为定点．

（1）由题意：

c

a＝

1

2

a2

c＝4

a2＝b2+c2，解得

a＝2

b＝

3．∴椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝1．…（6分）

（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），

设M（x₀，y₀），R（t，0），则直线AM的方程为y＝

y0

x0+2(x+2)，

令x=4，得y＝

6y0

x0+2，即点P的坐标为(4，

6y0

x0+2)，…（9分）

由题意，MQ⊥PQ，∴k_MQ•k_PQ=-1，∴

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．