解题思路：（1）由已知q≠0且q≠1，利用等比数列的通项公式可得
a
n
＝(
λ
1+λ
)
n−1
，利用等比数列的求和公式可证
（2）由
b
n
＝
b
n−1
1+
b
n−1
，可得[1
b
n
＝
1
b
n−1
+1，从而可得
{
1
b
n
}
是等差数列，从而可求bn，利用等差数列的求和公式可求
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
＝2+3+…+(n+1)＝
n
2
+3n/2]，从而可求极限
证明：（1）由已知q≠0且q≠1，所以an＝(
λ
1+λ)n−1（n∈N*），…（1分）
所以Sn＝
a1(1−qn)
1−q＝
1−(
λ
1+λ)n
1−
λ
1+λ＝(1+λ)[1−(
λ
1+λ)n]＝(1+λ)−λ(
λ
1+λ)n−1，（5分）
即Sn=（1+λ）-λan．…（6分）
（2）由已知b1＝
1
2，bn＝
bn−1
1+bn−1，所以[1
bn＝
1
bn−1+1，…（8分）
所以，{
1
bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
1
bn＝2+(n−1)＝n+1，…（9分）
所以数列{bn}的通项公式为bn＝
1/n+1]．…（10分）
所以[1
b1+
1
b2+…+
1
bn＝2+3+…+(n+1)＝
n2+3n/2]，…（12分）
所以
lim
n→∞
1
n2(
1
b1+
1
b2+…+
1
bn)＝
lim
n→∞
点评：
本题考点： 数列的极限．
考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的求和公式的应用，利用递推公式构造等差数列，及等差数列的求和公式等知识的综合应用，属于公式的综合运用．
1年前
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