已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证:

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  • 解题思路:(1)关键是证出CE=AF,可由AE=AB,AC=BF,两两相加可得.再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE.

    (2)有(1)中的全等关系,可得出∠AFE=∠CED,再结合△DEF是等边三角形,可知∠DEF=60°,从而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而△ABC是等边三角形.

    证明:(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)

    ∴FA=EC(等量加等量和相等).

    ∵△DEF是等边三角形(已知),

    ∴EF=DE(等边三角形的性质).

    又∵AE=CD(已知),

    ∴△AEF≌△CDE(SSS).

    (2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等),

    ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换),

    △DEF是等边三角形(已知),

    ∴∠DEF=60°(等边三角形的性质),

    ∴∠BCA=60°(等量代换),

    由△AEF≌△CDE,得∠EFA=∠DEC,

    ∵∠DEC+∠FEC=60°,

    ∴∠EFA+∠FEC=60°,

    又∠BAC是△AEF的外角,

    ∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°,

    ∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).

    ∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定;等边三角形的判定.

    考点点评: 本题利用了等量加等量和相等,全等三角形的判定和性质,还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和,等边三角形的判定(三个角都是60°,那么就是等边三角形).