(1)∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=
1
2
,直线截圆所得的弦长为
6
,
∴圆O的半径r=
(1
2
)2+(
6
2
)2
=
2
,
则圆O的方程为x2+y2=2;
(2)设直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,
∵直线l与圆O相切,∴圆心到直线的距离d=r,即
|ab|
a2+b2
=
2
,
整理得:
1
a2
+
1
b2
=
1
2
,
则DE2=a2+b2=2(a2+b2)•(
1
a2
+
1
b2
)=2(2+
b2
a2
+
a2
b2
)≥8,
当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l方程为x+y-2=0;
(3)存在斜率为2的直线m,使m被圆O截得的弦为AB,以AB为直径的圆经过原点,理由为:
设存在斜率为2的直线m满足题意,
设直线m为y=2x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立圆与直线解析式得:
x2+y2=2
y=2x+b
,
消去y得:5x2+4bx+b2-2=0,
依题意得:x1+x2=-
4b
5
,x1x2=
b2-2
5
,△>0,
∵以AB为直径的圆经过原点,
∴
OA
⊥
OB
,∴x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2=5×
b2-2
5
+2b×(-
4b
5
)+b2=0,
整理得:b2=5,
解得:b=±
5
,经检验△>0,符合题意,
则存在斜率为2的直线m满足题意,直线m为:y=2x±
5
.