平面直角坐标系xoy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为根号6

1个回答

  • (1)∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=

    1

    2

    ,直线截圆所得的弦长为

    6

    ,

    ∴圆O的半径r=

    (1

    2

    )2+(

    6

    2

    )2

    =

    2

    ,

    则圆O的方程为x2+y2=2;

    (2)设直线l的方程为

    x

    a

    +

    y

    b

    =1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,

    ∵直线l与圆O相切,∴圆心到直线的距离d=r,即

    |ab|

    a2+b2

    =

    2

    ,

    整理得:

    1

    a2

    +

    1

    b2

    =

    1

    2

    ,

    则DE2=a2+b2=2(a2+b2)•(

    1

    a2

    +

    1

    b2

    )=2(2+

    b2

    a2

    +

    a2

    b2

    )≥8,

    当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l方程为x+y-2=0;

    (3)存在斜率为2的直线m,使m被圆O截得的弦为AB,以AB为直径的圆经过原点,理由为:

    设存在斜率为2的直线m满足题意,

    设直线m为y=2x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),

    联立圆与直线解析式得:

    x2+y2=2

    y=2x+b

    ,

    消去y得:5x2+4bx+b2-2=0,

    依题意得:x1+x2=-

    4b

    5

    ,x1x2=

    b2-2

    5

    ,△>0,

    ∵以AB为直径的圆经过原点,

    OA

    OB

    ,∴x1x2+y1y2=0,

    即x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2=5×

    b2-2

    5

    +2b×(-

    4b

    5

    )+b2=0,

    整理得:b2=5,

    解得:b=±

    5

    ,经检验△>0,符合题意,

    则存在斜率为2的直线m满足题意,直线m为:y=2x±

    5