Question

有关费马点的数学题P为锐角三角形ABC的费马点,∠ABC=60°,AP=3,BP=4,则BP=?

Answer 1

若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC=60度 ,PA=3,PC=4,则PB的值为________；

以B为顶点,往BC边外旋转BPC 60度得到BDE,根据费马点的定义,以及旋转,有：

1) ∠APB=120度

2) ∠BDE=∠BPC=120度

3) A、P、D、E四点共线

4) △BPD是等边三角形

5) ∠CBE=60度

因为∠ABC=60度,所以

6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度

根据4)、6)有：

7) ∠ABP + ∠DBE=60度

因为∠ABP + ∠BAP=60度,所以

8) ∠DBE=∠BAP

由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE,于是AP/BP=BD/DE=BP/CP

从而BP^2=AP*CP,即BP=2√3