Question

（2013•广元二模）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．

Answer 1

解题思路：①利用a_n与S_n的关系即可得到a_n，从而

lg

a

n+1

−lg

a

n

＝lg

a

n+1

a

n

=1，即可得到数列{lga_n}是以lga₁=lg10=1为首项，1为公差的等差数列；

②由①可得：

lg

a

n

＝lg1

0

n

＝n

，lga_n+1=n+1，

b

n

＝

3

n(n+1)

=3

(

1

n

−

1

n+1

)

，利用裂项求和即可得到T_n．

①当n=1时，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；

当n≥2时，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，

可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式对于n=1时也成立．

∴数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，

∴an＝10×10n−1＝10n．

∴lgan+1−lgan＝lg

an+1

an=1，

∴数列{lga_n}是以lga₁=lg10=1，为首项，1为公差的等差数列；

②由①可得：lgan＝lg10n＝n，lga_n+1=n+1，

∴bn＝

3

n(n+1)=3(

1/n−

1

n+1)，

∴T_n=3[(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)]=3(1−

1

n+1)=

3n

n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 熟练掌握an与Sn的关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式、裂项求和等是解题的关键．