原先在百度知道上这个问题的最佳答案是错的(嘿嘿,百度知道英语翻译的大部分最佳答案都是错的--问的人和答的人都一知半解,当然错的多对的少了.那些所谓专家们的答案常常错得离谱).What引导的是一个宾语从句.这个从句单独来看,正确的语序是：There is little of my spare time(我没有什么闲暇时间).What little在从句中作表语.
另外这句话有语病.The home improvement只能是单数,因而用have是错的.正确的句子是：
The home improvement has taken what little there is of my spare time.
家里的翻修占用了我本来就不多的闲暇时间.
补充：
没有倒装(至少没有和of倒装),因为what替代的不是of的宾语,my spare time才是.what替代的,是某个可能用来修饰little的副词,比如very.
little of my spare time中的介词短语of my spare time是修饰little的.
再补充：
Little在这里是形容词,其实叫名词性形容词(nominal adjective),即形容词在句子里起名词的作用.我上面说得不够准确.What在这里不是代词,而是副词.What当然可以作副词用,意思是在多大程度上.比如
What does it matter?(相当于How much does it matter?)
另外,what little和what few是英语里的固定用法,用来引导从句的.